Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (365) INGEGNERIA MATEMATICA
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078047 - METODI ANALITICI E NUMERICI DELLE E.D.P.
Ing Ind - Inf (Mag.)(ord. 270) - BV (478) NUCLEAR ENGINEERING - INGEGNERIA NUCLEARE
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094961 - METODI NUMERICI DELLE E.D.P.
Obiettivi dell'insegnamento
Il contenuto della presente scheda si riferisce anche all'insegnamento in unione-corso denominato 094961 - METODI NUMERICI DELLE E.D.P. (5 CFU).
Le equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) sono uno strumento essenziale per la modellizzazione in ambito scientifico-tecnologico. Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, l'insegnamento (Parte Numerica) si propone di fornire allo studente gli elementi di base per la costruzione, l’analisi e l’implementazione al calcolatore dei principali schemi numerici basati sulle differenze finite e sugli elementi finiti per l’approssimazione di EDP ellittiche (in una e due dimensioni spaziali), EDP paraboliche e leggi di conservazione scalare (nel caso di una dimensione spaziale).
Risultati di apprendimento attesi
Lo studente :
conosce schemi numerici (sia alle differenze finite che agli elementi finiti) e ne comprende la costruzione per l’approssimazione della soluzione di alcune classi di semplici equazioni differenziali alle derivate parziali. Inoltre conosce i teoremi che permettono di analizzare le proprietà di consistenza, stabilità e convergenza di tali schemi numerici.
sa applicare la conoscenza degli schemi numerici per la soluzione approssimata di equazioni differenziali alle derivate parziali che modellizzano semplici fenomeni reali, sa utilizzare la piattaforma Matlab per fornirne un’implementazione al calcolatore, e sa applicare la teoria per interpretare i risultati ottenuti dalla simulazione numerica.
Argomenti trattati
Parte Numerica
Parte Prima: Metodi Numerici basati sulle Differenze Finite.
Alcuni risultati preliminari: approssimazione delle derivate del primo e secondo ordine tramite rapporti incrementali.
Il metodo delle differenze finite per l'equazione di Laplace-Poisson monodimensionale: Formulazione algebrica, proprietà della matrice. Consistenza, stabilità e convergenza del metodo.
Il metodo delle differenze finite per l'equazione di diffusione del calore monodimensionale: Formulazione algebrica. Avanzamento in tempo tramite il theta-metodo. Studio dell'assoluta stabilità del theta metodo. Proprietà di consistenza, stabilità e convergenza del theta metodo.
Il metodo delle differenze finite per l'equazione di Laplace-Poisson bidimensionale: Lo schema a 5 punti e sua formulazione algebrica.
Il metodo delle differenze finite per l'equazione di diffusione-trasporto monodimensionale:Analisi di uno schema centrato tramite equazioni alle differenze. Il numero di Peclet e l'instabilità dello schema. Metodi di stabilizzazione: lo schema upwind e la diffusione artificiale.
Il metodo delle differenze finite per leggi di conservazione scalari: gli schemi Eulero in avanti centrato, Upwind, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff ed Eulero all'indietro centrato. Proprietà di consistenza e convergenza. La condizione CFL e proprietà di stabilità. Analisi di Von Neumann e proprietà di stabilità.
Parte Seconda: Metodi Numerici basati sugli Elementi Finiti
Il metodo degli elementi finiti per l'equazione di Laplace-Poisson: introduzione al metodo di Galerkin e sue proprietà di consistenza, stabilità e convergenza. Il metodo degli elementi finiti lineari nel caso monodimensionale e bidimensionale. Alcuni dettagli sull’implementazione del metodo agli elementi finiti. Stime di interpolazione ed ordine di convergenza del metodo degli elementi finiti lineari.
Il metodo degli elementi finiti per l'equazione di diffusione-trasporto-reazione monodimensionale: il metodo degli elementi finiti, insorgenza di instabilità e relazione con il metodo delle differenze finite. Tecniche di stabilizzazione con diffusione artificiale di tipo upwind per problemi di diffusione trasporto. La tecnica del mass lumping per un problema di diffusione-reazione. Discussione dell'estensione al caso bidimensionale.
Il metodo degli elementi finiti per l'equazione del calore monodimensionale: Approssimazione mediante elementi finiti: il problema semi-discretizzato, Il problema completamente discretizzato tramite il theta-metodo. Proprietà di convergenza e stabilità del theta metodo.
Prerequisiti
Si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di "Analisi Matematica I", "Analisi Matematica II" e "Algebra Lineare e Geometria". Inoltre si richiede che lo studente abbia una buona conoscenza degli argomenti trattati nell'insegnamento di "Matematica Numerica" con particolare riferimento ai metodi numerici per la soluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari e di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Modalità di valutazione
L'esame (Parte Numerica) consiste in una prova scritta e in un colloquio orale facoltativo. Lo studente ha diritto di accedere alla prova orale se ha ottenuto un voto nello scritto maggiore o uguale a 18/30. Il colloquio orale può aumentare, lasciare invariato o diminuire il voto ottenuto nella prova scritta. La prova scritta può essere sostenuta in una delle date fissate durante le sessioni estiva ("prova in itinere" oppure "appello d'esame"), autunnale o invernale, secondo il calendario predisposto dalla Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione. La data del colloquio orale viene comunicata dal docente in occasione della prova scritta. Nel caso in cui dopo il colloquio orale l'esito complessivo dell'esame risulti insufficiente, l'intero esame (prova scritta e colloquio orale facoltativo) deve essere ripetuto in una delle date successive.
In sede di esame scritto, lo studente dovrà:
Conoscere, comprendere e saper applicare i principali risultati di teoria per rispondere a domande ed esercizi riguardanti la costruzione di schemi numerici per l’approssimazione di EDP e l’analisi delle loro proprietà di consistenza, stabilità e convergenza.
Saper utilizzare la piattaforma Matlab per rispondere ad esercizi che richiedono: (a) l’implementazione degli schemi numerici visti durante l'insegnamento (o della medesima tipologia ed equivalente livello di complessità); (b) l’analisi critica dei risultati numerici ottenuti.
In sede di esame orale, lo studente dovrà:
dimostrare di conoscere e comprendere le principali definizioni e teoremi inerenti gli schemi numerici presentati durante l'insegnamento con particolare attenzione alle loro proprietà di consistenza, stabilità e convergenza.
mostrare autonomia di giudizio nel discutere criticamente le principali differenze tra gli schemi numerici presentati.
mostrare chiarezza espositiva nell'esporre le proprie argomentazioni.
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