logo-polimi
Loading...
Risorse bibliografiche
Risorsa bibliografica obbligatoria
Risorsa bibliografica facoltativa
Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2018/2019
Scuola Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Insegnamento 085924 - PROBABILITA'
Docente Gregoratti Matteo Probo Siro Francesco
Cfu 10.00 Tipo insegnamento Monodisciplinare

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing Ind - Inf (1 liv.)(ord. 270) - MI (365) INGEGNERIA MATEMATICA*AZZZZ085924 - PROBABILITA'

Obiettivi dell'insegnamento
1) Fornire in modo preciso e sistematico le nozioni e gli strumenti fondamentali del calcolo delle probabilità, basato sulla teoria della misura. L'insegnamento intende fornire una conoscenza e una comprensione della materia di livello adeguato ai successivi insegnamenti di Ingegneria Matematica e ai loro obiettivi formativi.
 
2) Sviluppare una capacità di modellizzazione probabilistica autonoma di fronte a fenomeni casuali concreti.
 
3) Sviluppare una padronanza degli aspetti metodologico-operativi dei metodi probabilistici adeguata alla risoluzione di problemi di base, non necessariamente uguali a quelli già incontrati in aula.

Risultati di apprendimento attesi

DdD 1: conoscenza e comprensione
A seguito del superamento dell'esame, lo studente:
• conosce e comprende i principi fondamentali del calcolo delle probabilità;
• conosce la terminologia e il formalismo del calcolo delle probabilità.

DdD 2: capacità di applicare conoscenza e comprensione
A seguito del superamento dell'esame, lo studente:
• è in grado di applicare la conoscenza a specifici fenomeni casuali modellizzandoli in modo corretto;
• è in grado di selezionare i metodi analitici e probabilistici utili per ottenere soluzioni a problemi di tipo probabilistico.

DdD 4: abilità comunicative
A seguito del superamento dell'esame, lo studente:
• è in grado di introdurre in modo chiaro e convincente le nozioni fondamentali del calcolo delle probabilità, spiegare la loro interpretazione modellistica, sintetizzare le principali proprietà degli oggetti matematici del calcolo delle probabilità, enunciare e dimostrare i principali risultati teorici, evidenziarne la rilevanza pratica e teorica.


Argomenti trattati
1) Teoria della probabilità. Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza. Probabilità su spazi campionari discreti. Probabilità sull'asse reale.
 
2) Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e loro leggi. Integrazione rispetto a una misura di probabilità. Valore atteso e momenti. Vettori aleatori e leggi multivariate. Indipendenza di variabili aleatorie. Esempi di variabili aleatorie usate nei principali modelli probabilistici. Funzioni caratteristiche. Leggi gaussiane multivariate, campioni gaussiani.
 
3) Legge condizionata e valore atteso condizionato. Definizione generale di valore atteso condizionato. Varianza condizionata.  
 
4) Convergenza di variabili aleatorie. Convergenza quasi certa, in probabilità, in Lp. Legge dei grandi numeri. Convergenza debole delle misure di probabilità. Funzioni caratteristiche e convergenza in legge. Teorema centrale del limite. Asintotica normalità e Metodo Delta 1.
 
5) Catene di Markov a stati finiti e tempo discreto. Classificazione degli stati. Problemi di assorbimento. Probabilità invarianti. Comportamento asintotico e Teorema ergodico.

Prerequisiti

Nozioni e strumenti acquisiti nei precedenti insegnamenti di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II, Algebra Lineare e Geometria, Statistica previsti dal Regolamento Didattico.


Modalità di valutazione

La verifica dell'apprendimento viene effettuata per mezzo di:

• due prove in itinere scritte oppure una prova d'esame scritta, nell’ambito degli appelli d'esame fissati dalla Scuola,
• una prova orale su tutto il programma d'esame (voto massimo 30/30 e Lode) oppure su un programma ridotto (voto massimo 28/30).

 

Le due prove in itinere sostituiscono il primo appello utile dell'A.A. Lo studente che non supera la prima prova in itinere non viene ammesso alla seconda e salta al secondo appello. Lo studente che supera la prima prova in itinere ma non la seconda, salta al secondo appello dove dovrà sostenere uno scritto su tutto il programma d'esame.

 

Gli studenti accedono quindi alla prova orale solo con un voto sufficiente in entrambe le prove in itinere o nella prova d'esame scritta. L'esame orale va sostenuto nello stesso appello per il quale è stata superata la prova scritta, altrimenti scade la validità della prova scritta superata. La convocazione all'esame orale avviene tramite avviso su BeeP.

 

Ogni prova scritta consta di tre problemi da risolvere individualmente ed autonomamente. Durante la prova scritta non è consentito consultare appunti, documenti o archivi di alcun tipo, né comunicare in alcun modo con altre persone. In particolare non è permesso tenere acceso il telefono cellulare o qualsiasi altro dispositivo consenta di comunicare, navigare in rete, consultare documenti, utilizzare programmi, applicazioni o altre risorse informatiche. E' consentito solamente l'uso delle tavole statistiche e della calcolatrice. L'allievo ha inoltre facoltà di consultare un foglio A4 preparato personalmente e contenente qualunque tipo di informazione (definizioni, formule, teoremi, grafici, disegni) egli ritenga utile e opportuna.

 

I problemi proposti sono volti ad accertare:
- la comprensione degli aspetti fondamentali dell'insegnamento e la capacità di introdurre i modelli adatti ad affrontare i problemi proposti;
- la capacità di selezionare e applicare correttamente gli strumenti di calcolo appresi, anche nel caso di problemi non necessariamente uguali a quelli già incontrati in aula.


La valutazione della prova scritta terrà conto anche della chiarezza di esposizione dei procedimenti seguiti, della padronanza del formalismo matematico, della capacità di motivare tali procedimenti, della correttezza nei calcoli. Ogni prova scritta è valutata in 30-esimi ed è superata con votazione sufficiente, ovvero maggiore o uguale a 18/30.

 

Ogni studente può scegliere se sostenere la prova orale su tutto il programma d'esame, potendo così ambire al voto massimo (30/30 e Lode), oppure su un programma ridotto, caso in cui il voto sarà al massimo 28. Il programma ridotto contiene gli stessi argomenti del programma completo, con le stesse definizioni, gli stessi esempi e gli enunciati degli stessi teoremi, ma contiene un numero minore di dimostrazioni. Durante le lezioni verrà specificato per ogni teorema se la dimostrazione faccia parte solo del programma completo o anche del programma ridotto. A fine semestre verrà pubblicato su BeeP un elenco dettagliato delle dimostrazioni appartenenti al solo programma completo.

 

Durante la prova orale lo studente deve mostrare di saper introdurre in modo chiaro e convincente le nozioni fondamentali del calcolo delle probabilità, spiegare la loro interpretazione modellistica, sintetizzare le principali proprietà degli oggetti matematici del calcolo delle probabilità, enunciare e dimostrare i principali risultati teorici, evidenziarne la rilevanza pratica e teorica. Lo studente deve quindi saper organizzare la conoscenza acquisita in modo discorsivo, lineare ed efficace, sapere ragionare criticamente sullo studio realizzato, sapere esporre gli argomenti con adeguato lessico specialistico ed adeguato formalismo matematico.

 

Al termine della prova orale viene formulato un voto, ponderato su tutte le prove sostenute. Se la valutazione globale è positiva (maggiore o uguale a 18/30), e se questa viene accettata dallo studente, il voto viene verbalizzato a cura del docente. Altrimenti lo studente dovrà risostenere l'esame integralmente, prova scritta inclusa, secondo il calendario degli appelli rimanenti e i vincoli posti dalla valutazione ricevuta.

 

Per informazioni aggiuntive si veda il Sillabo dell'insegnamento pubblicato su BeeP, https://beep.metid.polimi.it/. 


Bibliografia
Risorsa bibliografica facoltativaJ. Jacod, Ph. Protter, Probability Essentials, Editore: Springer, Anno edizione: 2004, ISBN: 3540438718
Risorsa bibliografica facoltativaP. Baldi, Calcolo delle probabilità e statistica, Editore: McGraw-Hill, Anno edizione: 1998, ISBN: 8838607370
Risorsa bibliografica facoltativaRaccolta degli esercizi (con risultati) proposti in aula https://beep.metid.polimi.it/
Risorsa bibliografica facoltativaRaccolta completa dei temi d'esame risolti degli AA precedenti https://beep.metid.polimi.it/

Software utilizzato
Nessun software richiesto

Forme didattiche
Tipo Forma Didattica Ore di attività svolte in aula
(hh:mm)
Ore di studio autonome
(hh:mm)
Lezione
60:00
90:00
Esercitazione
40:00
60:00
Laboratorio Informatico
0:00
0:00
Laboratorio Sperimentale
0:00
0:00
Laboratorio Di Progetto
0:00
0:00
Totale 100:00 150:00

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
Disponibilità di libri di testo/bibliografia in lingua inglese
Possibilità di sostenere l'esame in lingua inglese
Disponibilità di supporto didattico in lingua inglese
schedaincarico v. 1.6.9 / 1.6.9
Area Servizi ICT
16/10/2021