Il corso si propone  di fornire il linguaggio ed i tradizionali elementi di base dell' Analisi Matematica, focalizzandosi in particolare sui seguenti argomenti, che costituiscono un bagaglio culturale imprescindibile all'interno di un percorso di studi in Ingegneria:

- elementi di logica formale ed insiemi numerici;

- successioni e serie numeriche;

- calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale.

Conservando la tradizionale struttura logica su cui poggia il  "calcolo", gli argomenti  verranno presentati privilegiando l’aspetto costruttivo, senza tuttavia rinunciare al rigore necessario ad un uso critico e consapevole degli strumenti matematici nei problemi di ingegneria e delle discipline applicate.

1 - Insiemi Numerici

Richiami sui numeri naturali, interi, razionali.  Il principio di induzione. Coefficiente binomiale, potenza n-sima di un  binomio.  Numeri reali .  Ordinamento e  completezza. Potenze con esponente reale, logaritmi. 

Numeri  complessi.  Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale di un numero complesso. Rappresentazione nel piano di Gauss.  Operazioni sui  numeri complessi. Radici n-sime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'Algebra.

2 -  Funzioni reali di una variabile reale

2.1 Generalità

Funzione; dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Successione.  Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione composta, funzione inversa.

Funzioni reali di variabile reale: funzioni limitate, monotone,  simmetriche, periodiche.

Funzioni elementari.

2.2  Limiti

Definizione di limite di successione. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto.  Algebra dei limiti. Forme di indecisione. Esistenza del limite per successioni monotone.  Il numero e. Limiti notevoli. Limiti di funzioni. Infiniti, infinitesimi e loro confronto: uso dei simboli di "asintotico" e di "o piccolo".

2.3  Continuità

Definizione, continuità in un punto, in un insieme. Punti di discontinuità e loro classificazione.  Funzioni  continue su intervalli: teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi.         

2.4  Calcolo differenziale

Definizione di derivata e sue interpretazioni. Derivate di funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione. Derivata di funzione composta. Classificazione dei punti di non derivabilità. Massimi e minimi locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat, teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di De L'Hospital. Formula di Taylor con resto secondo Peano e con resto secondo Lagrange. Concavità e convessità. Continuità e derivabilità di funzione inversa. Studio  del grafico di una funzione. Primitiva, integrale indefinito.

2.5  Calcolo integrale

Integrale definito. Teorema della media. Funzione integrale. I e II teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Calcolo di aree piane. 

2.6   Integrali generalizzati

Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato o definite su un intervallo illimitato. Criteri di integrabilità. Integrabilità assoluta e integrabilità semplice. Cenni alle funzioni integrali.

3 - Serie numeriche

Definizione di serie e prime proprietà. Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica. Serie a termini non negativi: criterio del confronto, del rapporto, della radice. Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz.

Sono richieste le competenze di base fornite dalla scuola superiore. In particolare, è richiesta la conoscenza dei seguenti argomenti:

- geometria analitica;

- trigonometria;

- logaritmi ed esponenziali;

- equazioni e disequazioni (logaritmiche, trigonometriche, con valore assoluto).

Si suggerisce di visionare il MOOC di Pre-Calculus https://www.pok.polimi.it/courses/course-v1:Polimi+MAT101+2017_M9/about

ideato dal Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Il corso copre la matematica di base, permettendo di colmare eventuali lacune e di mettere a punto la preparazione necessaria all'ingresso all'Università.

L' esame potrà essere svolto sostenendo le prove in itinere, o sostenendo uno degli appelli d'esame previsti in febbraio, luglio e settembre.

Sono previste due prove in itinere, la prima a metà corso e la seconda alla fine del corso. In ciascuna prova lo studente dovrà dimostrare un’adeguata competenza sia nella parte di esercizi che nella parte di teoria. L'accesso alla seconda prova in itinere è subordinato al superamento della prima. Lo Studente che ottiene una valutazione positiva nella prima prova ma fallisce la seconda deve ripetere l'esame completo in uno degli appelli regolari.La valutazione favorevole sul complesso delle due prove in itinere si traduce nel superamento dell'esame.

Le prove degli appelli d'esame constano di una prova scritta, dove lo Studente dovrà dimostrare un’adeguata competenza sia nella parte di esercizi che nella parte di teoria, seguita da un'eventuale prova orale.

Le date delle prove scritte saranno pubblicate sulla pagina ufficiale del Politecnico. PER PARTECIPARE AD UNA PROVA SCRITTA  E` NECESSARIO ESSERSI ISCRITTI AL RELATIVO APPELLO D'ESAME NEI TEMPI PREVISTI. 

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