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Il corso ha l'obiettivo di fornire allo studente gli strumenti numerici di base per la descrizione di forme nello spazio tridimensionale. Mediante tali strumenti lo studente sarà in grado di generare, muovere e deformare forme complesse di interesse applicativo. Durante il corso la rappresentazione di tali forme sarà ottenuta mediante l'implementazione di algoritmi utilizzando il software POVRay.
1) Modellazione di forme geometriche.
Richiami a sistemi di riferimento 2D. Sistemi di riferimento 3D: definizione, piani coordinati, ottanti. Distanza fra due punti. Definizione di vettore algebrico a tre componenti e vettore geometrico e loro corrispondenza.
Modulo di un vettore, versore. Operazioni su vettori: addizione e sottrazione, moltiplicazione per uno scalare, prodotto scalare, prodotto vettore. Forma cartesiana di un vettore.
Funzioni vettoriali: definizioni e loro interpretazione grafica. Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti.
2) Parametrizzazione di rette e piani.
Forma parametrico-vettoriale di una retta. Forma parametrico-vettoriale di un piano. Direzione normale ad un piano. Forma cartesiana di un piano. Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti.
3) Virtualizzazione di movimenti e deformazioni nello spazio.
Definizione di matrice e alcune caratteristiche: matrice simmetrica, matrice diagonale, matrice identità. Operazioni su matrici: addizione e sottrazione fra matrici, moltiplicazione fra matrici (in particolare moltiplicazione
matrice-vettore).
Definizione di trasformazione geometrica 2D e 3D. Trasformazioni affini isometriche: traslazione, rotazione, riflessione. Trasformazioni affini non isometriche: scaling. Composizione di trasformazioni. Trasformazioni in
coordinate omogenee: trasformazioni prospettiche (caso particolare proiezione ortogonale).
Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti.
4) Parametrizzazione di curve e superfici.
Parametrizzazione di semplici curve e superfici. Parametrizzazione di curve e superfici dinamiche.
Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti.
Esempio: descrizione matematica della forma dei Realia Building (Madrid) e Swiss Re Building (Londra).
5) Metodi numerici per l'approssimazione di curve e superfici complesse.
Operazioni su punti: combinazioni baricentriche e baricentriche convesse. Definizione di curve di Bézier e loro costruzione attraverso l'algoritmo di De Casteljeau. Forma parametrica di una curva di Bézier attraverso i
polinomi di Bernstein. Proprietà e limiti di una curva di Bézier. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Cenni alle curve B-Spline e NURBS. Implementazione e visualizzazione su calcolatore dei concetti introdotti.
Esempio: descrizione di una lettera di un font Postscript mediante curve di Bezier.
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