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Obiettivi
Scopo del corso è presentare, dando per acquisiti gli elementi di base del corso di Analisi 1, alcuni argomenti dell' Analisi Matematica indispensabili per l'utilizzo consapevole del linguaggio e degli strumerti delle discipline fisiche ed ingegneristiche.
Programma delle lezioni e delle esercitazioni
1 - Funzioni di due o più variabili reali
Elementi di topologia nel piano e nello spazio: insiemi aperti, chiusi, connessi; frontiera di un insieme; insiemi limitati.
1.1 - Funzioni a valori reali
Limiti e continuità; teorema di Weierstrass. Derivate parziali, vettore gradiente, derivate direzionali: interpretazioni fisiche e geometriche. Curve (superficie) di livello. Differenziale, piano tangente, approssimazione lineare locale. Condizioni necessarie per la differenziabilità’ , formula del gradiente; condizione sufficiente di differenziabilità. Funzioni composte; regola di derivazione. Teorema del valor medio. Derivate seconde, teorema di Schwartz, matrice hessiana; differenziale secondo. Formula di Taylor al secondo ordine. Forme quadratiche e loro classificazione: metodo degli autovalori per il riconoscimento delle forme quadratiche. Ottimizzazione libera: punti stazionari; uso della formula di Taylor per il riconoscimento di massimi e minimi locali. Funzioni convesse. Ottimizzazione vincolata; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
1.2 - Funzioni a valori vettoriali
Continuità e differenziabilità: matrice Jacobiana. Differenziabilità delle funzioni composte
2 - Integrali doppi e tripli
Integrale doppio di una funzione continua: proprietà ed applicazioni fisiche e geometriche (volumi, baricentri, momenti d' inerzia). Formule di riduzione a due integrali semplici successivi. Cambio di variabili; coordinate polari. Integrale triplo di una funzione continua. Formule di riduzione. Coordinate cilindriche e sferiche. Cenni agli integrali impropri doppi e tripli.
3 – Curve
Curve in forma parametrica nel piano e nello spazio. Curve regolari. Curve rettificabili: lunghezza di un arco di curva regolare. Parametrizzazione intrinseca. Versore tangente, normale, binormale. Integrale rispetto all'ascissa curvilinea.
4 - Campi vettoriali
Campi vettoriali. Integrali di linea di un campo vettoriale: lavoro e circuitazione. Campi vettoriali conservativi; potenziale; caratterizzazione dei campi conservativi come campi con circuitazione nulla. Vettore rotore, campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi.
5 - Serie trigonometriche e serie di Fourier
Serie di funzioni. Convergenza semplice e convergenza totale. Serie di potenze: raggio e cerchio di convergenza; serie di Taylor; serie esponenziale nel campo complesso.
Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti e serie di Fourier di una funzione periodica. Approssimazione in media quadratica. Disuguaglianza di Bessel; uguaglianza di Parseval. Convergenza puntuale di una serie di Fourier. Forma esponenziale della serie di Fourier.
6 - Equazioni differenziali ordinarie
Modelli della meccanica classica e della dinamica delle popolazioni. Generalità: ordine, soluzione; problema di Cauchy. Riduzione di un’equazione scalare di ordine n ad un’equazione vettoriale del I ordine. Teorema di esistenza e unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy.
Equazioni differenziali lineari scalari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea e di quello dell’ equazione completa.
Integrale generale delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine omogenee: lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2; costruzione di un sistema fondamentale di integrali particolari per l'equazione omogenea a coefficienti costanti, ricerca di una soluzione particolare dell'equazione completa. Vibrazioni libere, vibrazioni smorzate, vibrazioni forzate (in assenza di attrito). Equazioni di Eulero.
Equazioni differenziali non lineari del primo ordine; equazioni a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni di Bernoulli.
7 - Sistemi differenziali lineari
Sistemi lineari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e di un sistema non omogeneo. Sistemi lineari omogenei: dimensione dello spazio delle soluzioni; sistema fondamentale di soluzioni; matrice Wronskiana. Sistemi lineari omogenei autonomi: costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per il sistema bidimensionale. Sistemi lineari completi: metodo della variazione delle costanti arbitrarie.
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