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1) Curve in forma parametrica
Curve in forma parametrica in R² e in R³. Curve semplici, chiuse, regolari, vettore tangente.
2) Funzioni reali di due o più variabili reali
Insieme di definizione, curve (superfici) di livello. Elementi di topologia in R² e in R³; insiemi aperti, chiusi, insiemi limitati, frontiera, insiemi connessi. Limiti, continuità. Derivate parziali; piano tangente (n=2). Vettore gradiente, sue proprietà. Differenziabilità per n=2, approssimazione lineare locale. Derivate direzionali, regola del gradiente. Funzioni composte, regola di derivazione. Derivate seconde e teorema di Schwarz. Formula di Taylor per n=2, arrestata alle derivate seconde. Estremi liberi. Punti stazionari. Condizione sufficiente per l'esistenza di estremi locali: matrice Hessiana, segno degli autovalori. Estremi vincolati: caso n=2, vincolo di uguaglianza. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
3) Equazioni differenziali ordinarie
Modelli di dinamica delle popolazioni, della meccanica classica, dei circuiti RC, RCL. Generalità: ordine, soluzione, problema di Cauchy, linearità. Equazioni del primo ordine lineari: principio di sovrapposizione; struttura dell'integrale generale dell'equazione completa; teorema di esistenza ed unicità per il problema dei valori iniziali. Equazioni del prim’ordine nonlineari: metodi di integrazione. Equazioni lineari del secondo ordine: principio di sovrapposizione; struttura dell'integrale generale; teorema di esistenza ed unicità per il problema dei valori iniziali. Integrale generale dell'equazione omogenea. Soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea nel caso di coefficienti costanti. Integrale particolare dell'equazione completa col metodo di somiglianza.
4) Integrali impropri e serie numeriche
Integrali impropri. Esempi. Criteri di confronto, confronto asintotico. Serie convergente, divergente, indeterminata. Esempi. Serie a termini positivi, criteri di convergenza. Serie con termini di segno variabile, convergenza assoluta. Serie a segni alterni: criterio di Leibniz.
5) Serie di potenze e serie di Fourier
Serie di potenze. Proprietà, raggio di convergenza, teorema di Abel. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti e serie di Fourier di una funzione periodica. Convergenza in media quadratica, identità di Parseval, convergenza puntuale della serie di Fourier.
6) Integrali doppi e tripli
Definizione di integrale doppio di una funzione continua. Proprietà e applicazioni (baricentro, momento di inerzia,...). Formula di riduzione a due successive integrazioni semplici per domini normali. Cambiamento di variabili da cartesiane a polari. Integrali tripli di funzioni continue. Formula di riduzione. Cambiamento di variabili da cartesiane a cilindriche, da cartesiane a sferiche.
7) Integrali di linea e campi vettoriali
Lunghezza di una curva regolare a tratti. Integrali di linea. Baricentro e momento d’inerzia. Linee di forza o di flusso. Campo elettrostatico, campo piano di velocità, campo magnetico. Lavoro lungo una linea regolare. Integrazione delle forme differenziali lineari, campi vettoriali conservativi, potenziale. Condizione necessaria per l’esistenza del potenziale; condizione sufficiente. Rotore. Formula di Gauss-Green.
8) Superfici e integrali di superficie
Superfici parametriche nello spazio. Piano tangente, vettore normale. Integrali di superficie. Flusso di un campo attraverso una superficie. Teoremi della divergenza (teorema di Gauss) e del rotore (teorema di Stokes).
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