Obiettivi dell’insegnamento

Oggetto del corso sono le nozioni base della statica, articolate nei tre livelli di statica del punto materiale, del corpo rigido e del continuo deformabile. Obiettivo del corso è la presentazione del processo logico che porta alla progettazione di semplici elementi strutturali, a partire dai problemi risolubili in base a sole condizioni di equilibrio, oggetto della parte A, per arrivare a problemi la cui soluzione richiede anche la considerazione della deformabilità dei corpi e delle proprietà meccaniche dei materiale. Il corso usa un taglio di tipo applicativo, pur senza rinunciare al rigore delle trattazioni. Alla conclusione del corso l'allievo sarà in grado di (1) risolvere semplici problemi di statica del corpo rigido; (2) determinare le azioni interne in semplici strutture isostatiche; (3) individuare i principali comportamenti meccanici dei materiali di interesse nelle costruzioni civili e industriali; (4) determinare lo stato tensionale in aste rettilinee soggette ad azioni note.

Programma delle lezioni ed esercitazioni

Parte A – Statica del punto materiale e del corpo rigido; statica dei sistemi di aste piane.

1.   Problemi generali. Finalità e campo di applicazione del corso.

2.  Statica del punto materiale. Vettori; proprietà della somma dei vettori. Sistemi di forze nel piano: risultante, scomposizione di una forza in componenti, rappresentazione in componenti cartesiane ortogonali. Equilibrio del punto materiale. Sistemi di forze nello spazio e relative condizioni di equilibrio.

3.   Statica del corpo rigido. Forze esterne e interne; scorrimento di una forza lungo la sua linea d’azione. Prodotto vettoriale; momento di una forza intorno a un punto, componenti cartesiane del momento, teorema di Varignon. Prodotto scalare di due vettori, triplo prodotto, momento di una forza rispetto a un asse. Momento di una coppia; coppie equivalenti. Sistemi di forze equivalenti, operazioni di riduzione sui sistemi di forze. Condizioni di equilibrio dei corpi rigidi: le equazioni cardinali della statica.

4.   Statica degli elementi monodimensionali (aste) nel piano. Concetto di grado di libertà e di vincolo, labilità, strutture ipostatiche, isostatiche, iperstatiche. Gli schemi isostatici fondamentali: la mensola, l'asta cerniera-carrello, l'asta con tre vincoli semplici, l'arco a tre cerniere. Le appendici isostatiche. Strutture che contengono anelli chiusi: il circolo chiuso isostatico, il circolo chiuso ipostatico, gli anelli chiusi iperstatici. Calcolo delle reazioni vincolari di sistemi isostatici. Calcolo delle azioni interne con l'utilizzo dell'equazione indefinita di equilibrio per le aste rettilinee. Metodi di calcolo per le travature reticolari: equilibrio ai nodi, metodo delle sezioni.

5.   Geometria della masse: il centro delle forze parallele; i momenti del primo ordine. Carichi distribuiti sulle travi; forze sugli elementi sommersi. Geometria delle aree: baricentro, momento statico, momenti d’inerzia, assi principali di inerzia.  

Parte B – Statica del continuo deformabile; stati di sforzo nelle aste.

6.   Statica e cinematica dei continui deformabili. Statica: definizione di continuo deformabile. Definizione di sforzo; la relazione di Cauchy. Le equazioni indefinite di equilibrio; la simmetria del tensore degli sforzi. Proprietà dello stato di sforzo: sforzi e direzioni principali. Stati di sforzo piani: il cerchio di Mohr. Stato di sforzo nei serbatoi in pressione. Cinematica: l'ipotesi di piccoli spostamenti. Il tensore gradiente di spostamento; il tensore delle piccole deformazioni, deformazioni estensionali e deformazioni tangenziali; il tensore di rotazione. Le equazioni di congruenza.

7.  Il legame costitutivo e il problema elastico. Comportamento meccanico dei materiali strutturali: la prova a trazione monoassiale. Legame sforzi-deformazioni per i corpi elastici: la legge di Hooke generalizzata. Il legame elastico per i materiali isotropi: le costanti E, n, G, significato fisico e determinazione sperimentale. Relazione tra E, n, G; limiti della costante n. Posizione del problema dell'equilibrio elastico e proprietà della sua soluzione.

8.  Il problema di De St. Venant. Il solido di De St. Venant; il procedimento semi-inverso di soluzione. Il postulato di De St. Venant. Formulazione matematica del problema di De St. Venant.

9.    Azione assiale e flessione. Sforzi e deformazioni indotti dall'azione assiale centrata; problemi assialmente iperstatici; effetto delle variazioni di temperatura. Flessione semplice simmetrica/retta. Azione assiale eccentrica: calcolo di sforzi e deformazioni. Flessione semplice non simmetrica/deviata. Caso generale di carico assiale eccentrico. Proget­tazione di travi prismatiche per la flessione.

10.Torsione e taglio. Sforzi e deformazioni dovuti alla torsione in una barra di sezione circolare. Sforzi tangenziali prodotti da forze di taglio: la formula di Jourawsky.

11.Verifica della resistenza. Criteri di rottura per materiali fragili; criteri di snervamento per materiali duttili in stato di sforzo piano. Verifica di elementi strutturali in stati di sollecitazione composta.

L’esame è composto da una prova pratica scritta, articolata in un esercizio sulla soluzione delle strutture isostatiche e in esercizi sulle restanti parti del corso.

La prova pratica è sempre seguita da una prova sulle nozioni teoriche, che può essere scritta o orale a seconda del numero di studenti presenti all'appello.

Il testo, preparato ad hoc per il corso, raccoglie in un solo libro i capitoli utilizzati dei due libri in adozione al corso fino all'a.a. 2012-13.