Obbiettivi del corso  

 
Gli obiettivi di questo corso sono diversi.
a. Strumentale: introdurre i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale unidimensionale, ossia il calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. Questi strumenti saranno immediatamente utilizzati dallo studente nello studio di tutte le altre discipline a contenuto fisico-matematico, ed inoltre preparano il successivo corso di Analisi Matematica 2, che completerà in modo sostanziale la strumentazione matematica necessaria allo studio di queste discipline.
b. Formativo: mostrare la struttura logica tipica del discorso matematico, abituare al necessario rigore nella discussione e verifica delle ipotesi, mentalità fondamentale per un uso critico e consapevole di qualsiasi modello, matematico e non.
c. Consolidamento delle conoscenze matematiche di base. Uno dei concetti fondamentali del corso è certamente quello di funzione. Di conseguenza, un altro obiettivo essenziale è creare una certa familiarità con le funzioni elementari e le loro proprietà; questo insieme di conoscenze e abilità in parte costituisce un prerequisito del corso.

Programma delle lezioni e delle esercitazioni  

1) Insiemi Numerici
Richiami sugli insiemi dei numeri naturali, dei numeri interi, dei numeri razionali. Principio di induzione. Numeri reali. Ordinamento e completezza. Estremo superiore di un insieme. Radici n-esime, potenze a esponente razionale e reale, logaritmi in R. Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi. Rappresentazione nel piano di Gauss. Operazioni sui numeri complessi. Radici complesse. Equazioni algebriche e teorema fondamentale dell'algebra.

2) Funzioni reali di una variabile reale
Generalità . Funzione, dominio, codominio, grafico. Funzioni elementari. Funzioni simmetriche, monotone, limitate, periodiche. Funzione composta, funzione inversa.
Limiti. Definizione di limite per successioni e per funzioni. Unicità del limite. Algebra dei limiti. Forme di indecisione. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti; ordine di un infinitesimo, di un infinito. Il simbolo di asintotico. Esistenza del limite per funzioni monotone. Il numero e.
Continuità. Definizione. Continuità delle funzioni elementari. Operazioni con funzioni continue. Punti di discontinuità e loro classificazione. Teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi.
Calcolo differenziale. Definizione di derivata ed interpretazioni geometriche e fisiche. Derivate di funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Differenziale e linearizzazione. Regole di derivazione. Derivata di funzione composta ed inversa. Ricerca di massimi e minimi: teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange. Teorema di De L'Hôpital. Formula di Taylor e Mac-Laurin. Il simbolo di "o piccolo". Concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione.
Calcolo integrale. Integrale definito di funzioni continue o continue a tratti su intervalli limitati; sue interpretazioni geometriche e fisiche. Proprietà elementari dell'integrale definito. Primitiva, integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione per parti, per sostituzione.
Integrali generalizzati. Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato o definite su un intervallo illimitato. Criteri di integrabilità al finito e all'infinito. Integrabilità assoluta e integrabilità semplice. Criteri di confronto. Cenno alle funzioni integrali.

Prerequisiti 

Algebra: calcolo letterale; polinomi ed operazioni su di essi; radice n-esima aritmetica, potenze a esponente razionale, loro proprietà; valore assoluto e sue proprietà; risoluzione di equazioni e disequazioni (primo e secondo grado, con moduli, algebriche, fratte, irrazionali...).

Logaritmi e loro proprietà, equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.
Trigonometria: concetti di base, funzioni trigonometriche elementari, identità notevoli della trigonometria, applicazioni geometriche della trigonometria, equazioni e disequazioni trigonometriche.
Geometria analitica: coordinate cartesiane, equazione della retta, della circonferenza, cenni alle coniche; significato geometrico di equazioni e sistemi di equazioni in due incognite.
Funzioni elementari: conoscere e saper costruire i grafici di rette, parabole, funzioni potenza, esponenziale, logaritmo; funzioni trigonometriche elementari.

Modalità d’esame

L’esame consiste in una prova scritta (esercizi da svolgere) e breve discussione degli esercizi svolti durante un orale che segue lo scritto. Gli appelli d’esame si svolgeranno secondo il calendario accademico. L’accesso agli esami è libero per tutti gli studenti iscritti al corso che non hanno "OFA TEST" o "OFA TOT"; tuttavia, per sostenere l'esame in un dato appello, è obbligatorio iscriversi all'appello al Poliself, entro la scadenza indicata dal Poliself stesso.

Durante il corso dell’anno saranno effettuate alcune prove in itinere, secondo un calendario fissato dall'agenda del corso, che si trova nel materiale allegato al corso. Il superamento delle prove in itinere da' diritto ad un aumento del voto ottenuto nello scritto, solo nel caso che quest'ultimo sia sufficiente, secondo una tabella di aumenti che si trova nel materiale del corso. Gli aumenti si applicano nell'anno accademico in corso.