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Scheda Riassuntiva
Anno Accademico 2017/2018
Scuola Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale
Insegnamento 097303 - ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA
Docente Marchionna Clelia , Vivarelli Maria Dina
Cfu 16.00 Tipo insegnamento Corso Integrato

Corso di Studi Codice Piano di Studio preventivamente approvato Da (compreso) A (escluso) Insegnamento
Ing - Civ (1 liv.)(ord. 270) - MI (346) INGEGNERIA PER L'AMBIENTE E IL TERRITORIO*AZZZZ097303 - ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA

Programma dettagliato e risultati di apprendimento attesi

Corso integrato, crediti 16: Analisi Matematica e Geometria

Obiettivi del corso:

Scopo del corso è di fornire le conoscenze e competenze fondamentali nel campo della Analisi matematica e della Geometria, quali i concetti base dell’Algebra lineare e degli elementi di Geometria analitica nello spazio, il calcolo differenziale ed integrale in una o più variabili con applicazioni a problemi di ottimizzazione.

  I semestre :   ANALISI MATEMATICA 1,   Crediti 6

                      GEOMETRIA,   Crediti 6

 II semestre :   ANALISI MATEMATICA 2 [MOD. A],   Crediti 4

 Laboratorio informatico integrativo MATLAB: 12 ore distribuite su entrambi i semestri

 a) Programma di Analisi matematica 1

Insiemi numerici Numeri reali: ordinamento, estremo superiore, completezza.

Funzioni reali di variabile reale Concetto di funzione. Insieme di definizione, immagine, invertibilità. Simmetrie.

Limiti e continuità Limiti per funzioni di una variabile reale. Teoremi fondamentali, teorema del limite di una funzione monotona, limiti notevoli. Infinitesimi, ordini di infinitesimo. Limiti di successioni, definizione del numero e. Continuità. Teorema degli zeri. Punti di discontinuità.

Calcolo differenziale Derivata e differenziale: definizione e significato geometrico. Regole di derivazione. Derivata di funzioni composte e dell’inversa. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange. Derivate successive, studio di funzioni. Formula di Taylor, con resto di Peano e di Lagrange, regola di De l’Hospital.

Calcolo integrale Primitiva di una funzione continua. Integrale definito. Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale. Cenno agli integrali impropri.

Regole di integrazione. Integrali di funzioni razionali. Integrali per sostituzione e per parti.

Serie numeriche. Definizione. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Esempi elementari: serie del Mengoli, geometrica, armonica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Definizione di resto n-simo. Serie a termini positivi: criteri del confronto, del rapporto, della radice. Serie a termini di segno qualunque: convergenza assoluta e semplice. Serie a termini di segno alternato. Criterio di convergenza di Leibniz. Stima dell'errore.

Serie di potenze. centro e raggio di convergenza, formule di calcolo del raggio.

b) Geometria analitica e Algebra lineare

Calcolo vettoriale Vettori nel piano e nello spazio: somma, combinazione lineare, prodotto scalare, vettoriale e misto.

Geometria analitica nello spazio Rette in forma parametrica e cartesiana, piani e fasci di piani. Piano per tre punti, distanza di un punto da un piano e da una retta.

Numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica. Teoremi di De Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.

Vettori in Rn . Spazi vettoriali, sottospazi, sistema di generatori e base di uno spazio vettoriale. Matrici e operazioni su di esse, inversa. Determinanti, teoremi di Laplace, rango di una matrice Trasformazioni lineari. nucleo, immagine, teorema della dimensione. Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli.

Autovalori e autovettori: molteplicità algebrica e geometrica, cambiamento di base, matrici simili, matrici diagonalizzabili, matrici ortogonali.

c) Analisi matematica 2 [MOD.A] : Calcolo differenziale in piu' variabili

Funzioni reali di più variabili reali a valori scalari e vettoriali: funzioni reali di più variabili a valori scalari, dominio e codominio, grafico. Rappresentazione mediante curve e superfici di livello. Curve parametriche nel piano e nello spazio. Funzioni di più variabili reali a valori vettoriali: Superfici parametriche in R3. Linee coordinate. Trasformazioni di coordinate . Campi vettoriali.

Calcolo differenziale per le funzioni di piu’ variabili a valori scalari: Topologia: insiemi aperti, chiusi e proprietà. Insiemi limitati, connessi per archi. Intorno circolare di un punto. Limiti e continuità di funzioni. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri e del segno. Derivate parziali prime, significato geometrico. Piano tangente. Derivate direzionali. Gradiente e direzioni di massima pendenza. Formula del gradiente. Ortogonalità del gradiente alle linee di livello. Differenziale. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Gli spazi C0 (A) e C1 (A). Derivate parziali seconde. Teorema di Schwarz. Derivazioni composte. Formula di Taylor al secondo ordine con resto secondo Peano e Lagrange.

Ottimizzazione. Massimi e minimi. Teorema di Fermat. Funzioni quadratiche: richiami. Punti critici. Matrice hessiana. Natura dei punti stazionari. Ottimizzazione vincolata.

Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali: vettore derivato primo e versore tangente ad una curva, matrice Jacobiana ed approssimazione lineare. Derivazione di funzioni composte e matrici Jacobiane. Superfici regolari, versore normale e piano tangente.

Integrali di linea: Lunghezza di una linea, ascissa curvilinea ed integrali di linea di prima specie, applicazioni. Lavoro ed integrali di linea di seconda specie.  Forma differenziale esatta, campo vettoriale conservativo. Operatore rotore, condizioni necessarie o sufficienti per una forma differenziale esatta.

Integrali doppi e tripli: Dominio di integrazione semplice. Integrali doppi in coordinate cartesiane e polari. Cambiamento di variabili e matrice Jacobiana. Applicazioni: volumi, baricentri. Integrali di superficie. Integrali tripli.

Flusso di un campo vettoriale attraverso una linea od una superficie:  Formule di Green nel piano, applicazione al calcolo di aree. Teoremi del rotore (o di Stokes) e della divergenza (o di Gauss) nel piano e nello spazio.

 


Note Sulla Modalità di valutazione

Il Corso di Analisi matematica e Geometria è composto di tre moduli, la valutazione sarà comunque relativa a tutto il programma e registrata solo dopo il superamento di tutti i moduli. Ulteriori dettagli sono presenti nelle schede dettagliate dei diversi moduli del corso integrato.

 


Bibliografia
Risorsa bibliografica obbligatoriaLa bibliografia completa del corso integrato è disponibile nei singoli moduli

Software utilizzato
Software Info e download Virtual desktop
Ambiente virtuale fruibile dal proprio portatile dove vengono messi a disposizione i software specifici per all¿attività didattica
PC studente
Indica se è possibile l'installazione su PC personale dello studente
Aule
Verifica se questo software è disponibile in aula informatizzata
Altri corsi
Verifica se questo software è utilizzato in altri corsi
Docenti
MATHWORKS Matlab SI SI Marchionna Clelia

Mix Forme Didattiche
Tipo Forma Didattica Ore didattiche
lezione
104.0
esercitazione
58.0
laboratorio informatico
6.0
laboratorio sperimentale
0.0
progetto
0.0
laboratorio di progetto
0.0

Informazioni in lingua inglese a supporto dell'internazionalizzazione
Insegnamento erogato in lingua Italiano
schedaincarico v. 1.6.9 / 1.6.9
Area Servizi ICT
22/10/2021