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COURSE OBJECTIVE/ OBIETTIVI dell'INSEGNAMENTO
The course aims at introducing to students the authentic meaning of the Bayesian approach to Statistics, which tells us how to update prior beliefs about parameters and hypotheses in light of data, to yield posterior beliefs. Bayes's Theorem quantifies the problem of how to learn from data. The first part of the course concerns foundational aspects of Bayesian Statistics (the choice of the prior, for instance), while in the second part, after some knowlegde on Markov Chain Monte Carlo techniques for simulation and integration, we study specific statistical models. On completion of the course, the students shall be able to making Bayesian inference for applications using software for Bayesian analysis, such as some R packages, JAGS and BUGS, Stan.
L'insegnamento si propone di introdurre agli studenti anzitutto il significato dell'approccio statistico bayesiano: esso, infatti, formalizza il processo di inferenza scientifica come composto di due parti, una che dipende dalla comprensione scientifica del fenomeno considerato, e l'altra dai dati osservati che lo scienziato ha ottento dall'esperimento considerato. Il teorema di Bayes quantifica il processo di aggiornamento delle opinioni iniziali tramite i dati. La prima parte del corso riguardera' aspetti fondamentali dell'approccio bayesiano(la scelta della prior, per esempio), mentre nella seconda parte, dopo una panoramica sulle tecniche di simulazione e integrazione Markov chain Monte Carlo, si esamineranno via via modelli statistici specifici. Allo studente sara' richiesto di sapere fare inferenza bayesiana per applicazioni statistiche utilizzando software per l'analisi bayesiana, quali pacchetti di R, WinBUGS, JAGS, Stan.
COURSE CONTENT/ PROGRAMMA delle LEZIONE e delle ESERCITAZIONI
Bayesian inference: likelihood principle, prior and posterior distribution. Bayes's Theorem for dominated models. Posterior summary values. Interpretation of scientific inference via the Bayesian approach. Simple univariate Bayesian models.
The three main inferential problem: point estimation, hypothesis testing, interval estimation: comparison between the frequentist and the Bayesian approach.
Prior distributions. The choice of a prior distribution, noninformative priors, conjugate priors and their mixtures, semi-conjugate priors. Robustness.
Exchangeability and de Finetti's representation theorem for exchangeable sequences. Implications of de Finetti's theorem on the Bayesian approach. Predictive inference.
Asymptotic results on the posterior distribution.
L'inferenza dal punto di vista bayesiano: principio di verosimiglianza, distribuzione a priori e a posteriori. Il teorema di Bayes per modelli dominati.
Valori di sintesi della distribuzione a posteriori. Intrepretazione dell'inferenza scientifica con l'approccio bayesiano. Alcuni esempi con i piu' comuni modelli univariati.
I tre problemi fondamentali dell'inferenza: stima puntuale, verifica delle ipotesi e stima intervallare; confronto fra i metodi bayesiano e frequentista.
Distribuzioni a priori. La scelta della distribuzione a priori: distribuzioni non informative; distribuzioni coniugate e misture, distibuzioni semi-coniugate. Robustezza (cenni).
Interpretazione del paradigma bayesiano attraverso la scambiabilita'. Teorema di rappresentazione di de Finetti. L'inferenza predittiva. Predizione di quantita'
osservabili.
Risultati asintotici: consistenza, normalita' asintotica della distribuzione a posteriori.
Simulation methods for Bayesian Statistics. Some results on the theory on general state space Markov chains. Markov chain Monte Carlo methods. Gibbs sampler and Metropolis-Hastings algorithms for computing posterior inference.
Introduzione ai metodi computazionali per la statistica bayesiana. Cenni di teoria sulle catene markoviane con spazio degli stati generali (irriducibilita', distribuzione invariante, Harris-ricorrenza, convergenza quasi certa delle medie ergodiche, convergenza in variazione totale della probabilita' di tranzizione al passo n).
Metodi Markov chain Monte Carlo. Algoritmi Gibbs sampler e Metropolis-Hastings per il calcolo delle inferenze a posteriori.
Goodness-of-fit and model choice.
Verifica dell'adeguatezza del modello e scelta del modello.
Hierarchical models.
Modelli gerarchici.
Bayesian linear models, and genaralized linear models. Hierarchical linear models with random effects. Parameter estimation and covariates choice.
Introduzione al modello lineare multivariato. Modelli lineari generalizzati. Modelli lineari gerarchici con random effects. Stima dei parametri e scelta dei predittori.
Bayesian survival analysis/ reliability with censored data. Regression models: accelerated failure time and proportional hazards models.
Analisi della sopravvivenza e affidabilita' per dati censurati e non.Richiami di statistica classica: tasso di rischio; modelli parametrici (Weibull, gamma,
log-normale, extreme-value), modelli increasing e decreasing failure rate; stimatore di Kaplan-Meier. Prior coniugate e standard, prior non-informative.
Modelli di regressione e modelli accelerated failure time. Modelli proportional hazards. Cenni a sistemi riparabili in problemi di affidabilita'.
Bayesian nonparametric models. Dirichlet processes and some of their generalizations. Bayesian nonparametric mixture models, with application to density estimation and clustering.
Modelli nonparametrici. Il processo di Dirichlet e sue generalizzazioni. Misture di distribuzioni parametriche con distribuzione misturante aleatoria,
e applicazioni alla stima di densita' e al clustering.
Longitudinal data models, spatial models.
Cenni a modelli per dati longitudinali e a modelli spaziali.
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