• 091177 - ANALISI MATEMATICA III

OBIETTIVI

Scopo del corso è l'acquisizione di strumenti matematici per la soluzione di equazioni differenziali e l'analisi di segnali e circuiti: lezioni ed esercitazioni saranno mirate all'apprendimento dei metodi basati sulle trasformate integrali, le serie di Fourier e le tecniche di variabile complessa.

PROGRAMMA

Funzioni analitiche:
Derivazione complessa. Condizioni di Cauchy-Riemann. Teorema di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Trasformazioni conformi. Teorema dei residui. Calcolo effettivo di residui. Principio del prolungamento analitico. Funzioni polidrome. Indicatore logaritmico. Teorema di Rouché. Calcolo di integrali mediante tecniche di variabile complessa.

Analisi Funzionale:  Integrale di Lebesgue. Spazi di Banach e di Hilbert. Spazi C^k.  Spazi L^p. Disuguaglianze di H"older e Minkowski. Funzioni test. Delta di Dirac. Derivate di una distribuzione. Distribuzioni temperate. Problemi di divisione. Convoluzione.

Trasformata di Fourier: Trasformata in L^1 e L^2. Lemma di Riemann-Lebesgue. Regole algebriche e funzionali di trasformazione. Inversione. Identità di Plancherel. Trasformata di distribuzioni temperate. Soluzione di equazioni differenziali ed integrodifferenziali. Serie di Fourier di segnali periodici. Serie di Fourier e trasformata di Fourier di un treno di impulsi. Soluzioni periodiche di equazioni differenziali ordinarie. Teorema del campionamento di Shannon.

Trasformata di Laplace:  Funzioni e distribuzioni Laplace trasformabili. Analiticità della trasformata. Formula di inversione. Regole algebriche e funzionali di trasformazione. Teorema del valore iniziale. Teorema del valore finale. Soluzione di problemi differenziali con condizioni iniziali. Equazioni integro-differenziali. Equazioni con ritardo.

Equazioni a derivate parziali lineari: Classificazione. Condizioni iniziali. Condizioni al contorno: problemi di Dirichlet e di Neumann. Soluzione mediante trasformate. Equazioni di Maxwell. Equazione delle onde. Formula di D'Alembert. Metodo di separazione delle variabili. Corda vibrante. Domini a simmetria radiale. Domini di tipo rettangolare. Problemi di autovalori.  

Prerequisiti

ANALISI MATEMATICA I E GEOMETRIA, ANALISI MATEMATICA II.

L'esame consiste in una prova scritta (test a risposta multipla ed esercizi) ed una prova orale.

Nella parte orale dell'esame si verifica la conoscenza dettagliata di uno a scelta tra i  capitoli del programma, oltre alle definizioni ed agli enunciati dei principali teoremi della restante parte del programma.

The English version of the text will be also available as an E-book.