Obiettivi e contenuti del corso

Obiettivo formativo principale

Il corso di Meccanica Razionale si propone di esporre concetti e metodi generali della Meccanica Classica. A partire dalle nozioni di meccanica del punto materiale, già impartite in corsi precedenti, si sviluppano in modo sistematico la meccanica dei sistemi di punti soggetti a vincoli, la meccanica del corpo rigido nel piano e nello spazio. Nella prima parte del corso, lo studio dei sistemi di punti e corpi rigidi verrà affrontato mediante l'uso delle equazioni cardinali e dell'equazione dell'energia cinetica. Nella seconda parte del corso, verranno presentati ed applicati i concetti ed i metodi propri della meccanica analitica, mettendo in luce vantaggi e svantaggi di entrambi gli approcci. Nell'ambito del capitolo dedicato alla meccanica analitica si affronterà lo studio della stabilità del moto e dell'equilibrio di un sistema meccanico e si illustrerà l'uso dei principi variazionali in meccanica classica

Obiettivi formativi metodologici

Al di là del mero apprendimento dei contenuti del corso, si ritiene importante che gli allievi imparino a tradurre in modo sistematico e rigoroso un sistema meccanico in equazioni, a risolverle ed a discuterne i risultati. È bene osservare che lo studio della Meccanica Classica richiede, da parte dello studente, l'applicazione di tutti gli strumenti matematici di cui è venuto in possesso nei corsi di Analisi e Geometria.

Descrizione degli argomenti trattati

Vengono di seguito elencati i capitoli in cui è suddiviso il programma dl corso. Per ciascun capitolo vengono dati gli argomenti principali.

1. Cinematica dei sistemi di punti: vincoli olonomi ed anolonomi (cenni), gradi di libertà e coordinate libere di un sistema.
2. Cinematica del corpo rigido: il vincolo di rigidità, gradi di libertà e coordinate libere di un corpo rigido, atto di moto rigido, sistemi di corpi rigidi soggetti a vincoli.
3. Meccanica dei sistemi di punti: forze attive e reattive interne ed esterne, le Equazioni Cardinali, il Teorema dell'Energia Cinetica.
4. Dinamica e statica del corpo rigido: Equazioni Cardinali per un corpo rigido, tensore d'inerzia, equipollenza e riduzione di sistemi di forze, condizioni necessarie e sufficienti per l'equilibrio di un corpo rigido, dinamica del corpo rigido con asse fisso, equazioni di Eulero, applicazioni notevoli, fenomeni giroscopici.
5. Elementi di meccanica analitica: spostamenti virtuali, lavori virtuali, vincoli ideali, Equazione Simbolica della Dinamica, Equazioni di Lagrange, funzione di Lagrange, funzione di dissipazione, simmetrie e leggi di conservazione, il problema dei due corpi, applicazioni alla meccanica orbitale.
6. Stabilità dell'equilibrio e piccole oscillazioni: definizione di stabilità secondo Lyapounov, I e II metodo di Lyapounov per lo studio della stabilità, piccole oscillazioni di un sistema a più gradi di libertà, frequenze proprie e modi normali.
7. Principi variazionali: cenni di calcolo delle variazioni e principi variazionali, il Principio di Hamilton

Organizzazione del corso e modalità di verifica

Modalità didattiche

I contenuti del corso verranno presentati attraverso lezioni frontali seguite da un numero adeguato di esercitazioni alla lavagna. Allo scopo di facilitare la comprensioni di alcuni argomenti, si prevede di illustrare il comportamento di taluni sistemi meccanici attraverso simulazioni al computer o semplici esperimenti da eseguirsi durante le lezioni/esercitazioni.

Modalità di verifica

L'accertamento del livello di preparazione raggiunto dallo studente verrà effettuato mediante un esame articolato in una prova scritta seguita da una prova orale. L'ammissione alla prova orale è subordinata al raggiungimento di una valutazione sufficiente nella prova scritta.