• 086212 - METODI ANALITICI E NUMERICI (PARTE DI ANALISI MATEMATICA)

Obiettivi e contenuti del corso integrato (10 cfu)

 Scopo di questo corso è quello di introdurre i principali strumenti matematici e numerici per l'analisi e l’approssimazione di alcuni problemi tipici dell'Ingegneria. Dopo aver introdotto concetti e tecniche fondamentali del calcolo numerico, si introducono le metodologie sia analitiche che numeriche per  risolvere classi di problemi differenziali che emergono tipicamente nell'ambito della applicazioni della ingegneria meccanica ed energetica, come il calcolo delle deformazioni in semplici strutture monodimensionali, il calcolo delle frequenze proprie di alcuni sistemi meccanici, piuttosto che l'analisi termica di semplici travi, pilastri.

 
Descrizione degli argomenti trattati dal corso integrato (10 cfu)

Argomento 1: Fondamenti di calcolo numerico: Concetti di consistenza, stabilità e convergenza di un metodo numerico. Il concetto di metodi iterativo. Metodi numerici in algebra lineare: metodi diretti ed iterativi per la soluzione di sistemi lineari, approssimazione di autovalori. Metodi numerici per equazioni non lineari: il metodo della bisezione , metodi di punto fisso, il metodo di Newton, il caso vettoriale. Metodi per l'integrazione numerica: formule composite del punto medio, del trapezio e di Simpson, formula di quadratura Gaussiane.  

 Argomento 2: Problemi differenziali di tipo ellittico. Risoluzione analitica dell'equazione di Poisson: problemi ben posti, problemi di Dirichlet di Neumann, esistenza e unicità della soluzione, proprietà della media, principio del massimo, separazione delle variabili per soluzioni su rettangoli e dischi. Cenni di Analisi Funzionale. Formulazione variazionale. Teorema di Lax Milgram. Trasformata di Fourier e applicazioni all’equazione di Poisson. Risoluzione numerica tramite il metodo di Galerkin e sue proprietà di consistenza, stabilità e convergenza. Il problema dell'approssimazione di funzioni. Spazi di elementi finiti. Formulazione algebrica del metodo degli elementi finiti. Trattamento numerico delle condizioni al bordo. Esempi applicativi rilevanti per l'ingegneria meccanica ed energetica.

 Argomento 3: Equazioni evolutive. Il teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Trasformata di Laplace. Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie: metodi ad un passo per equazioni del prim'ordine. Consistenza, stabilità, convergenza, assoluta stabilità. Estensione ai sistemi. Metodi numerici per equazioni differenziali del II ordine: il metodo di Newmark. Esempi applicativi: sistemi dinamici a più gradi di libertà. L'equazione del calore, soluzione fondamentale, risoluzione tramite trasformata di Fourier, principio del massimo, esistenza e unicità per problemi di Cauchy-Dirichlet/Cauchy-Neumann per l'equazione del calore, metodo dell'energia, separazione di variabili. Risoluzione con il metodo degli elementi finiti. Esempi applicativi rilevanti per l'ingegneria meccanica ed energetica. Cenni a problemi non lineari: la diffusione del calore in una sbarra sottile con radiazione. [

Organizzazione del corso e modalità di verifica

L'esame consiste in una prova scritta ed in una prova orale entrambe obbligatorie. L'ammissione alla prova orale e' subordinata al superamento della prova scritta. Sono previste due prove scritte in itinere: qualora entrambe le prove in itinere risultino sufficienti,  l'allievo e' esonerato dal sostenimento della prova scritta.