Obiettivi e contenuti del corso 

Obiettivo del corso è far acquisire agli studenti le nozioni e le tecniche indispensabili alla costruzione, all’analisi e alla comprensione di modelli matematici per l’ingegneria.

I contenuti del corso riguardano principalmente l’algebra lineare, il calcolo infinitesimale per funzioni di più variabili e a valori vettoriali e le serie di Fourier. Vengono presentati semplici modelli matematici.

Descrizione degli argomenti trattati 

Argomento 1. Algebra lineare. Vettori e spazi vettoriali, prodotto scalare, norma di un vettore. Dipendenza e indipendenza lineare. Determinante e rango di una matrice. Funzioni lineari. Teorema di rappresentazione. Autovalori e autovettori, diagonalizzazione di una matrice. Matrici simmetriche, definite positive. Forme quadratiche, classificazione delle coniche. Sistemi di equazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Metodo di eliminazione di Gauss.

Argomento 2. Equazioni differenziali II. Equazioni lineari del second'ordine a coefficienti costanti. Problemi di Cauchy ed ai limiti. Integrale generale dell’equazione omogenea e non omogenea (metodo di somiglianza). Vibrazioni meccaniche. Sistemi di due equazioni del primo ordine. Cenni a equazioni e sistemi lineari di ordine superiore.

Argomento 3. Serie numeriche e serie di Fourier. Concetto di serie. Serie geometrica e serie armonica. Serie a termini positivi: criteri di convergenza. Serie a termini di segno alternato. Funzioni periodiche e polinomi trigonometrici. Coefficienti di Fourier. Convergenza puntuale e in media quadratica della serie di Fourier.

Argomento 4. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Dominio naturale e curve di livello. Limiti e continuità di funzioni di due variabili. Derivare parziali e direzionali. Differenziale e piano tangente. Formula del gradiente. Funzioni implicite. Derivate di ordine superiore, matrice hessiana. Formula di Taylor. Punti stazionari, estremi liberi, test della matrice hessiana. Estremi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Argomento 5. Integrali multipli. Integrali doppi su domini semplici per funzioni continue, formule di riduzione, cambi di coordinate. Formule di Gauss-Green nel piano. Integrali tripli. Formule di riduzione: “per fili” e “per strati”. Coordinate polari nello spazio e coordinate cilindriche. Applicazioni: volumi, baricentri e momenti d’inerzia.

Argomento 6. Campi vettoriali e integrali di linea. Campi vettoriali, campi conservativi, potenziale. Integrali di linea di seconda specie, lavoro di un campo di forze. Rotore e divergenza.

Argomento 7. Superfici e integrali di superficie. Superfici parametriche nello spazio. Piano tangente, vettore normale. Integrali di superficie. Flusso di un campo attraverso una superficie. Teoremi di Stokes e della divergenza.

Organizzazione del corso e modalità di verifica

Il corso è organizzato in lezioni ed esercitazioni e diviso in due parti con un’interruzione a circa metà corso per permettere lo svolgimento della prima prova in itinere. Sono previsti tre appelli d’esame, nelle date stabilite dal calendario di Facoltà. L’esame consta di una prova scritta e di un colloquio orale; la prova scritta è selettiva, se non viene superata con valutazione sufficiente lo studente non è ammesso al colloquio orale e non supera l’esame. Sono inoltre previste due prove in itinere (una nell’interruzione di metà corso e l’altra a fine corso) che, qualora risultino entrambe sufficienti, danno diritto all’esonero dallo scritto del primo appello.